Позицию сайта смотрят не ручным поиском, а через сервисы для вебмастеров: Яндекс Вебмастер и Google Search Console, оба бесплатны, если подтвердить права на сайт. В Вебмастере это раздел "Поисковые запросы", в Search Console - "Эффективность". Там видно точную позицию по каждому запросу без искажений от вашей истории поиска, региона и устройства.
Вручную вбитый запрос обманывает по нескольким причинам сразу: выдача персонализируется под историю поиска конкретного человека, зависит от геолокации телефона, от того, залогинены вы в аккаунт или нет, и от того, десктоп это или мобильный - у них разная выдача. Именно поэтому у вас и соседа результат отличается, хотя ищете одно и то же с соседних столов.
Если своего сайта в этих сервисах ещё нет, подключение занимает 15-20 минут: регистрация, подтверждение прав через мета-тег в коде сайта или файл на хостинге, дальше данные по позициям начинают копиться в течение нескольких дней. Для нового лендинга сразу после запуска смотреть особо нечего - поисковик выдаёт стабильные позиции обычно через 2-4 недели после индексации, раньше цифры скачут.
Отдельно есть платные трекеры позиций вроде Topvisor или Serpstat с проверкой по расписанию и графиками роста - для одного лендинга без активного SEO-продвижения это избыточно, бесплатных отчётов Вебмастера и Search Console хватает, чтобы понимать динамику.