Проще всего - расширение "Яндекс.Метрика" для Chrome. Ставите его, открываете сайт, и оно показывает номер счётчика и список настроенных на нём целей прямо в браузере. Если расширение молчит - счётчика на странице нет, что бы ни говорил подрядчик.
Второй способ без расширений - вкладка Network в инструментах разработчика браузера (клавиша F12). Обновите страницу и найдите в списке запрос к mc.yandex.ru/watch - если он есть, счётчик сработал. Отправьте тестовую заявку через форму и проверьте, появился ли отдельный запрос с параметром цели: это проверка, что цель реально срабатывает, а не просто существует в настройках.
В самой Метрике откройте отчёт "Реальное время": зайдите на сайт с телефона прямо сейчас, и ваш визит должен появиться там в течение минуты. Так же проверяется и цель на отправку формы - отправьте тестовую заявку и посмотрите, зафиксировалась ли она в реальном времени под правильным названием.
Если счётчик стоит, а цель на форму не срабатывает, чаще всего дело в том, что форма отправляется через AJAX без перезагрузки страницы, а событие для Метрики забыли прописать в коде отправки. Это уже вопрос к разработчику: без настроенной цели статистика показывает клики по рекламе, но не показывает, какие из них дали заявку.