Домен .ru физлицо покупает без ИП и без документов - на сайте регистратора вводите название, проверяете, свободно ли оно, оплачиваете картой и сразу становитесь владельцем. Регистраторы в России - Рег.ру, Timeweb, Beget и другие, цена первого года обычно 150-400 рублей по акции, дальше продление - 600-900 рублей в год.
Покупать домен у того же хостинга, где будет сайт, удобнее технически: не придётся вручную прописывать DNS-записи, они привязываются автоматически. Но если решите сменить хостинг позже, домен свободно переносится в другое место, привязки к одному провайдеру на всю жизнь нет.
Для .ru нужен только паспорт при регистрации через сайт регистратора и никаких дополнительных бумаг для физлица. При выборе имени: короче лучше, чем длиннее, а кириллические домены вроде ателье.рф выглядят необычно, но их сложнее диктовать по телефону и печатать на визитке.
После покупки домен ещё не сайт - нужен хостинг, куда он будет указывать, и сама страница. Если делаете лендинг под ключ, домен и хостинг обычно уже входят в стоимость работы: у меня, например, включены сразу, отдельно докупать их после сдачи проекта не придётся.