Домен покупается за 15 минут у аккредитованного регистратора: заходите на его сайт, вбиваете желаемое имя в строку поиска, система показывает, свободно ли оно, и предлагает варианты, если занято. Оплачиваете картой, домен появляется в вашем личном кабинете сразу.
Регистраторы для зоны .ru - Reg.ru, Timeweb, Nic.ru. Цена для .ru обычно 200-800 рублей в первый год, дальше при продлении может быть дороже - это уточняется в тарифах конкретного регистратора до оплаты. Домен покупается на срок от года, продлевать нужно самостоятельно: если пропустить дату, сайт может стать недоступен, а через некоторое время имя вообще уйдёт в свободную продажу и его перехватит кто-то другой.
Главное правило: домен регистрируется на вас, а не на подрядчика. Заводите личный кабинет у регистратора на свою почту и телефон, оплачиваете сами. Разработчику после этого нужен только доступ к DNS-записям, чтобы привязать домен к хостингу - это делается без передачи пароля от личного кабинета, через отдельного пользователя или временный доступ.
Если исполнитель предлагает купить домен на себя "для удобства", это создаёт риск: при смене подрядчика или конфликте домен физически принадлежит не вам, и вернуть его без согласия того, на кого он оформлен, будет сложно. В моих проектах домен всегда оформляется на заказчика с первого дня, я только настраиваю технические записи и передаю пароли по итогу работы.