Кнопка звонка - это обычная ссылка, где вместо адреса страницы в атрибуте href стоит tel: и номер, например href="tel:+79219123578". Номер пишите без пробелов и скобок, с плюсом и кодом страны - иначе на части телефонов ссылка не сработает. На смартфоне такая ссылка сама открывает экран набора номера, никакой скрипт для этого не нужен.
На мобильном лучше не прятать кнопку в шапке сайта, а закрепить её внизу экрана - плавающая полоса с номером или текстом "Позвонить", которая остаётся видна при любой прокрутке. Размер кнопки держите не меньше 44 на 44 пикселя: это минимальный размер, при котором палец попадает по кнопке без промаха, эту рекомендацию дают и Apple, и Google в своих гайдах по интерфейсам.
Клики по кнопке стоит считать отдельной целью в Яндекс.Метрике - настраивается JS-событие на клик по ссылке с tel:. Без этого вы не увидите, сколько заявок реально приходит звонками, а не формой, и не поймёте, работает кнопка или просто висит для вида.
Если собираете сайт сами на конструкторе, кнопка звонка обычно уже есть в блоке "контакты" или добавляется html-виджетом с готовым кодом. В своих лендингах за 15 000 рублей я ставлю такую кнопку в комплекте вместе с прилипающей панелью для мобильных - отдельно её не считаю и не выношу в смету.